確率測度の直積の存在と一意性 ( 有限個バージョン )

最終更新：2021/10/23

確率測度の拡張定理の応用2. 確率測度の直積の存在と一意性を示す.

非専門家が書いています. 十分に批判的に読んで頂くようお願いいたします. 間違い・疑問点などあれば, ぜひコンタクトフォームへ連絡いただけると幸いです.

定義

$P_1$, $P_2$ をそれぞれ $\Omega_1$, $\Omega_2$ 上の確率測度とし, $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$ ( 直積 ) とする. 積 $\sigma$-加法族 $\cD(P_1) \times \cD(P_2)$ を定義域とする $\Omega$ 上の確率測度 $P$ で,

\begin{align}\large{ P(B_1 \times B_2) = P_1(B_1)P_2(B_2),\; B_i \in \cD(P_1),\; i = 1, 2 }\end{align}

をみたすものを, $P_1$, $P_2$ の直積測度 $P_1 \times P_2$ といい,

\begin{align}\large{ (\Omega, P) = (\Omega_1, P_1) \times (\Omega_2, P_2) }\end{align}

を, 速度空間 $(\Omega_1, P_1)$, $(\Omega_2, P_2)$ の直積といいう.

命題

上に記述したような直積が, 存在し, 一意である.

証明

方針

「一意性はまだしも, 直積は上で定義してるんやからもう存在してるやん」と思うかもしれないけれど, しっかり直積測度が測度の性質を満たしているかとか, 定義域が $\sigma$-加法族になっているかとかを確認する必要がある. けれど, ここではそのようなことを直接ではなく, 確率測度の拡張定理を使って示す.

一意性, 存在の順に示そう.

一意性

$\Omega$ の部分集合 $B_1 \times B_2$, $B_i \in \cD(P_1)$, $i = 1, 2$ 全体を $\cI$ とする. 明らかに, $I_1, I_2 \in \cI$ ならば $I_1 \cap I_2 \in \cI$ なので, $\cI$ は乗法系 ( $\pi$-系 ) . よって, 確率測度の一致の定理より,

\begin{align} P_1 = P_2 \; \mathrm{on} \; \cI \Longrightarrow P_1 = P_2 \; \mathrm{on} \; \sigma[\cI] = \cD(P_1) \times \cD(P_2) \end{align}

であり, 一意性がいえた.

存在

確率測度の拡張定理を使うために,

$\cI$ 上の初等確率測度を作り,
確率測度の拡張定理により $\sigma[\cI]$ 上の確率測度 $P$ に拡張,

という方針を採ろう.

　 i 　
まず, 以下のような集合函数を定義する.

\begin{align} p(B_1 \times B_2) = P_1(B_1) \times P_2(B_2). \end{align}

そして,

\begin{align} \cA = \left\{ \left. A = \sum_{i=1}^n I_i \;\right|\; I_i \in \cI,\ i = 1, 2, \ldots \right\} \end{align}

とすれば, $p$ は $\cA$ 上の初等確率測度となる. なぜなら, $\cA$ は明らかに加法族だし, $p$ は $\cA$ 上で(p.1), (p.2), (p.3)をみたす.

　 ii 　
$p$ が共通点性をもつことを示せば拡張定理が適用できる.

$\cA$ の定義より, $\cA$ の元 $A$ は,

\begin{align} A = \sum_{i=1}^n B_{1, i} \times B_{2, i},\; B_{1, i} \in \cD(P_1), B_{2, i} \in \cD(P_2),\; i = 1, 2, \ldots \end{align}

と書ける. このとき, $B_{2, i}$ として $\varnothing$ となるものも許すと, $B_{1, i}$ が互いに素で,

\begin{align} \sum_{i=1}^n B_{1, i} = \Omega_1 \end{align}

とすることができる ( ように $i = 1, 2, \ldots$ をとることができる ) .

今, $p(A) \geq \alpha \gt 0$ とする. また, $P_2(B_2, i)\geq \alpha/2$ ( 条件Aとする ) をみたす $i$ を選んできて ( そのような $i$ は $r$ 個あるとする ) , 最初の $r$ 個が条件Aをみたす $i$ となるように $i = 1, 2, \ldots$ を並び替える. すると,

\begin{align} \alpha \leq p(\alpha) = \sum_{i=1}^\color{red}{r} P_1(B_{1, i})P_2(B_{2, i}) + \sum_{i=\color{red}{r+1}}^n P_1(B_{1, i})P_2(B_{2, i}) \end{align}

とかける. 上記の並べ替えより明らかに,

\begin{align} P_2(B_{2, i}) \leq \frac{\alpha}{2},\; i = r+1, r+2, \ldots, n. \end{align}

また, もとより $P_2(B_{2, i}) \leq P_2(\Omega_2) = 1$ なので,

\begin{align} \alpha & \leq \sum_{i=1}^r P_1(B_{1, i}) \cdot 1 + \sum_{i=r+1}^n P_1(B_{1, i}) \cdot \frac{\alpha}{2} \\[5pt] & \leq P_1 \left( \sum_{i=1}^r B_{1, i} \right) + P_1 \left( \sum_{i=r+1}^n B_{1, i} \right) \cdot \frac{\alpha}{2} \notag \\[5pt] & = P_1 \left( \sum_{i=1}^r B_{1, i} \right) + P_1 \left( \Omega_1 - \sum_{i=1}^r B_{1, i} \right) \cdot \frac{\alpha}{2} \notag \\[5pt] & \leq P_1 \left( \sum_{i=1}^r B_{1, i} \right) + \frac{\alpha}{2}, \end{align}

よって,

\begin{align} P_1 \left( \sum_{i=1}^r B_{1, i} \right) \geq \frac{\alpha}{2} \label{eq1} \end{align}

がいえた.

さて, いよいよ共通点性を示す. 今,

\begin{align} A_1(\alpha) = \sum_{i=1}^r B_{1, i} \end{align}

とする. $\cA$ の中の減少列

\begin{align} A^{\prime} \supset A^{\prime \prime} \supset \cdots \supset A^{(n)} \cdots \end{align}

が, $p(A^{(n)}) \geq \alpha \gt 0$ をみたすとすると,

\begin{align} A_1^{\prime}(\alpha) \supset A_1^{\prime \prime}(\alpha) \supset \cdots \supset A_1^{(n)}(\alpha) \cdots \end{align}

も当然なりたち, \eqref{eq1}より, これらの $P_1$ 測度は $\geq \alpha / 2$ である. したがって ( また, 減少列なので ) ,

\begin{align} P_1 \left( \color{red}{\bigcap}_{n=1}^\infty A_1^{(n)} (\alpha) \right) = \lim_{n \rightarrow \infty}{P_1 \left( A_1^{(n)}(\alpha) \right)} \geq \frac{\alpha}{2}. \end{align}

すなわち, この交わり $\color{red}{\bigcap}$ は空でないので, ある一点 $\omega_1 \in \bigcap_{n=1}^\infty A_1^{(n)} (\alpha)$ をとることができる.

各 $n$ について,

\begin{align} A^{(n)} \mid_{\omega_1} = \left\{ \left. \omega_2 \in \Omega_2 \right| (\omega_1, \omega_2) \in A^{(n)} \right\} \end{align}

の $P_2$ 測度が $\geq \alpha/2$ であることは, 条件Aより決まっている. さらに, $\{ A^{(n)} \}$ が減少列だったので, $\{ A^{(n)} \mid_{\omega_1} \}$ も減少列, つまり先ほどと同様に

\begin{align} P_2 \left( \bigcap_{n=1}^\infty A^{(n)} \mid_{\omega_1} \right) \geq \frac{\alpha}{2}. \end{align}

よって, ある一点 $\omega_2 \in \bigcap_{n=1}^\infty A^{(n)} \mid_{\omega_1}$ をとってくることができて, 少なくとも一点 $(\omega_1, \omega_2)$ が $\{ A^{(n)} \}$ の共通点となる.

これで, 共通点性を示せたので確率測度の拡張定理が使える.

$\blacksquare$

感想・参考文献

感想

当たり前のような事実やけど, しっかり示すとなると大変だということを痛感した.

これで, 有限個の直積については存在と一意性が示せた. では, 可算個の場合 ( 無限個とか ) の場合はどうだろう. 次回はこれをとりあげる.

参考文献

伊藤清確率論 (岩波基礎数学選書)

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