確率測度に関する一致の定理

最終更新：2021/08/28

確率測度に関する一致の定理の証明. 伊藤『確率論』定理2.2.

非専門家が書いています. 十分に批判的に読んで頂くようお願いいたします. 間違い・疑問点などあれば, ぜひコンタクトフォームへ連絡いただけると幸いです.

確率測度に関する一致の定理

$P_1$ , $P_2$ を $\Omega$ 上の確率測度とし, $\cA$ は $\cD(P_1) \cap \cD(P_2)$ に含まれる乗法族とする. このとき, $P_1$ , $P_2$ が $\cA$ の上で一致すれば, $\sigma[\cA]$ の上で一致する. 即ち,

$\begin{align}\large{ P_1(A) = P_2(A),\; A \in \cA \Longrightarrow P_1(A) = P_2(A),\; A \in \sigma[\cA]. }\end{align}$

なお, ここで $\cD(P)$ は確率測度 $P$ の定義域で, $\sigma$ -加法族である.

証明

以下の集合族 $\cB$ について考える.

$\begin{align}\large{ \cB = \{ A \in \cD(P_1) \cap \cD(P_2) \mid P_1(A) = P_2(A) \}. }\end{align}$

このとき, $\cB$ はDynkin族である.

証明 ( click )

$\cB$ がDynkin族の条件を満たすことを一つづつ確かめればよい.

$\cD(P)$ は $\sigma$ -加法族なので, $\Omega \in \cD(P_1)$ かつ $\Omega \in \cD(P_2)$ . $P_1, P_2$ は確率測度なのでもちろん, $P_1(\Omega) = P_2(\Omega) = 1$ である. よって, $\Omega \in \cB$ .

$A, B \in \cB,\; A \cap B = \varnothing$ とする.
$A, B \in \cD(P_1)$ なので, $A + B = A \cup B \in \cD(P_1)$ ( $\sigma$ -加法性による, $+$ は直和 ) . 同様に, $A + B \in \cD(P_2)$ . よって, $A + B \in \cD(P_1) \cap \cD(P_2)$ .

また, $P$ が確率測度であり, $A$ , $B$ が非交であることから,

$\begin{align} P_1(A + B) &= P_1(A) + P_1(B) \\[5pt] &= P_2(A) + P_2(B) = P_2(A + B). \notag \end{align}$

よって, $A+B \in \cB$ .

$A, B \in \cB,\; A \subset B$ とする. $\cD(P_1)$ は $\sigma$ -加法族に注意.
$B \setminus A = B \cap A^c$ であり, 仮定より $B \in \cD(P_1)$ , $A \in \cD(P_1)$ なので $A^c \in \cD(P_1)$ . よって $B \setminus A \in \cD(P_1)$ . 同様に, $B \setminus A \in \cD(P_2)$ .

また, $P$ が確率測度であり, $A \in B$ であることから,

$\begin{align} P_1(B \setminus A) &= P_1(B) - P_1(A) \\[5pt] &= P_2(B) + P_2(A) = P_2(B \setminus A). \notag \end{align}$

よって, $A \setminus B \in \cB$ .

$\square$

いま, $\cB \supset \cA$ である. ( $\because$ $A \in \cA$ とすると仮定より $P_1(A) = P_2(A)$ かつ $A \in \cD(P_1) \cap \cD(P_2)$ . よって $A \in \cB$ . )

よって, $\cB \supset \lambda[\cA]$ である ( $\lambda[\cA]$ は $\cA$ を含む最小のDynkin族であった ) .

$\cA$ は乗法族だったので, Dynkin族定理より $\lambda[\cA] = \sigma[\cA]$ , すなわち $\cB \supset \sigma[\cA]$ . これで $P_1(A) = P_2(A),\; A \in \sigma[\cA]$ がわかった.

$\blacksquare$

感想・参考文献

感想

伊藤確率論で灰色にハッチされている部分の証明は「すぐわかる」で済まされている.

参考文献

伊藤清確率論 (岩波基礎数学選書)

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