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\newcommand\bm[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand\ve{\varepsilon} \newcommand\vecseq[3]{{#1}_{#2}, \ldots, {#1}_{#3}} \newcommand\cA{\mathcal{A}} \newcommand\cD{\mathcal{D}}
 

\pi\lambda 定理, Dynkin族定理

\pi\lambda 定理, Dynkin族定理の証明

非専門家が書いています. 十分に批判的に読んで頂くようお願いいたします. 間違い・疑問点などあれば, ぜひコンタクトフォームへ連絡いただけると幸いです.

定義

\cA を集合 S のある部分集合族とする.

完全加法族 ( \sigma-加法族 )

以下の3つの条件をみたす集合族 \cAS 上の \sigma-加法族という.

\begin{align} &\large S \in \cA, \tag{σ.1} \\[5pt] &\large A \in \cA \Longrightarrow A^c \in \cA, \tag{σ.2} \\[5pt] &\large A_n \in \cA \; (n = 1, 2, \ldots) \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \cA. \tag{σ.3} \end{align}

乗法族 ( \pi系 )

\cA が交演算で閉じているとき, \cA は乗法族であるという. すなわち,

\begin{align}\large{ A, B \in \cA \Longrightarrow A \cap B \in \cA. }\end{align}

Dynkin族 ( \lambda系 )

\cA が以下の3つをみたすとき\cA はDynkin族という.

\begin{align} &\large S \in \cA, \tag{D.1} \\[5pt] &\large A, B \in \cA,\; A \cap B = \varnothing \Longrightarrow A + B \in \cA, \tag{D.2} \\[5pt] &\large A, B \in \cA,\; A \subset B \Longrightarrow B \setminus A \in \cA. \tag{D.3} \end{align}

(D.2), (D.3)は可算直和, 固有差で閉じているということ. (D.3)のかわりに以下が使われることもある.

\begin{align} \large A_1 \subset A_2 \subset A_3 \cdots \in \cA \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \cA. \tag{D.3'} \end{align}

\cA で生成されるDynkin族

\cA を含む最小のDynkin族を「\cA で生成されるDynkin族」とよび, \lambda [\cA] と記す.

\pi \lambda 定理

\cA が乗法族かつDynkin族なら \sigma-加法族である.

証明

\sigma-加法族の条件を一つづつ確かめていく.

  条件1  
\cA がDynkin族なので S \in \cA である.

  条件2  
A \in \cA ならば, A^c = S \setminus A である. Dynkin族は固有差で閉じているので, A^c \in \cA.

  条件3  
A_n \in \cA (n = 1, 2,\ldots) \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \cA をいえばよい.

\begin{align} \large \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n &\large= \sum_n A_n \cap (A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1})^c \\[5pt] &\large= \sum_n A_n \cap A_1^c \cap \cdots \cap A_{n-1}^c \notag \end{align}

であり, \cA は乗法族であったので右辺は \cA に属する.

\blacksquare

Dynkin族定理

\cA が乗法族ならば, \lambda[\cA] = \sigma[\cA].

証明

\lambda[\cA] \subset \sigma[\cA] はあきらか. なぜなら, \sigma-加法族はDynkin族の条件をみたすので, \sigma[\cA] はDynkin族であり, 当然 \cA を含む最小のDynkin族 \lambda[\cA] を含む. よって, \lambda[\cA] \supset \sigma[\cA] を示せばよい. そのためには, \lambda[\cA]\sigma-加法族であることを言えば十分であるが, そもそも \lambda[\cA] がDynkin族であるので, \pi \lambda 定理より \lambda[\cA] が乗法族であることを言えば良い.

今, 以下のような S の集合族 \cD_1 を用意する.

\begin{align}\large{ \cD_1 = \left\{ A \mid {}^\forall B \in \cA,\; A \cap B \in \lambda[\cA] \right\}. \label{4} }\end{align}

すると, \cD_1 はDynkin族となる.

証明 ( click )

地道に(D.1), (D.2), (D.3)を確認すればよい.

  ( D.1 )  
S \cap B = B,\; B \in \cA \subset \lambda[\cA] なのでもちろん, S \in \cD_1.

  ( D.2 )  
C, D \in \cD_1 で非交のとき, B \in \cA に対して, (C+D) \cap B = (C \cap B) + (D \cap B) である. C \in \cD_1, B \in \cA なので, C \cap B \in \lambda[\cA], 同様に D \cap B \in \lambda[\cA]. よって, Dynkin族の定義より, (C+D) \cap B \in \lambda[\cA].

  ( D.3 )  
C, D \in \cD_1,\; C \subset D とする. B \in \cA に対して, (D \setminus C) \cap B = (D \cap B) \setminus (C \cap B) であり, D.2を示したのと同様に (D \cap B),\; (C \cap B) \in \lambda[\cA]. しかも, C \cap B \subset D \cap B なので, Dynkin族の定義より D \setminus C \in \cD_1.

\square

また, 仮定より \cA は乗法族であることから \cD_1 \supset \cA ( \because A \in \cA とすると, A \in \lambda[\cA] なので, {}^\forall B \in \cA に対して A \cap B \in \cA \subset \lambda[\cA]. これは, 条件 \eqref{4}をみたす ) . すると当然, \lambda[\cA]\cA を含む最小のDynkin族なので, \cD_1 \supset \lambda[\cA].

いま, 以下のように S の集合族 \cD_2 を定義すると,

\begin{align}\large{ \cD_2 = \left\{ B \mid {}^\forall A \in \lambda[\cA],\; A \cap B \in \lambda[\cA] \right\} \label{d2} }\end{align}

\cA \subset \cD_2 である ( \because 上で示した \cD_1 \supset \lambda[\cA]が意味することは, \cD_1 の定義\eqref{4}と照らし合わせると, A \in \lambda[\cA],\; B \in \cA \Longrightarrow A \cap B \in \lambda[\cA] ということであり, これは B \in \cA のとき, B \in \cD_2 であるということ.

今, \cD_1 がDynkin族であることを示したのと同じようにして\cD_2 がDynkin族であることがわかる. よって, \cA \subset \cD_2 より, \lambda[\cA] \subset \cD_2. これが示すことは, \cD_2 の定義より

\begin{align}\large{ A \in \lambda[\cA],\; B \in \lambda[\cA] \Longrightarrow A \cap B \in \lambda[\cA] }\end{align}

であり, これは \lambda[\cA] が乗法族であることにほかならない.

\blacksquare

感想・参考文献

感想

Dynkin族定理の証明は, \cD_1, \cD_2 を作るところがトリッキーだと思う. どうやったらこれらの集合族を作るアイデアに至るのだろうか?

参考文献

伊藤清 確率論 (岩波基礎数学選書)

東京大学 数理手法VI(楠岡成雄)1-3 1.1.2 Dinkin系.

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