$\pi\lambda$ 定理, Dynkin族定理

定義

$\cA$　を集合 $S$ のある部分集合族とする.

完全加法族 ( $\sigma$-加法族 )

以下の3つの条件をみたす集合族 $\cA$ を $S$ 上の $\sigma$-加法族という.

乗法族 ( $\pi$系 )

$\cA$ が交演算で閉じているとき, $\cA$ は乗法族であるという. すなわち,

Dynkin族 ( $\lambda$系 )

$\cA$ が以下の3つをみたすとき$\cA$ はDynkin族という.

(D.2), (D.3)は可算直和, 固有差で閉じているということ. (D.3)のかわりに以下が使われることもある.

$\cA$ で生成されるDynkin族

$\cA$ を含む最小のDynkin族を「$\cA$ で生成されるDynkin族」とよび, $\lambda [\cA]$ と記す.

$\pi \lambda$ 定理

$\cA$ が乗法族かつDynkin族なら $\sigma$-加法族である.

証明

$\sigma$-加法族の条件を一つづつ確かめていく.

　 条件１ 　
$\cA$ がDynkin族なので $S \in \cA$ である.

　 条件２ 　
$A \in \cA$ ならば, $A^c = S \setminus A$ である. Dynkin族は固有差で閉じているので, $A^c \in \cA$.

　 条件３ 　
$A_n \in \cA (n = 1, 2,\ldots) \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \cA$ をいえばよい.

であり, $\cA$ は乗法族であったので右辺は $\cA$ に属する.

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Dynkin族定理

$\cA$ が乗法族ならば, $\lambda[\cA] = \sigma[\cA]$.

証明

$\lambda[\cA] \subset \sigma[\cA]$ はあきらか. なぜなら, $\sigma$-加法族はDynkin族の条件をみたすので, $\sigma[\cA]$ はDynkin族であり, 当然 $\cA$ を含む最小のDynkin族 $\lambda[\cA]$ を含む. よって, $\lambda[\cA] \supset \sigma[\cA]$ を示せばよい. そのためには, $\lambda[\cA]$ が $\sigma$-加法族であることを言えば十分であるが, そもそも $\lambda[\cA]$ がDynkin族であるので, $\pi \lambda$ 定理より $\lambda[\cA]$ が乗法族であることを言えば良い.

今, 以下のような $S$ の集合族 $\cD_1$ を用意する.

すると, $\cD_1$ はDynkin族となる.

また, 仮定より $\cA$ は乗法族であることから $\cD_1 \supset \cA $ ( $\because$ $A \in \cA$ とすると, $A \in \lambda[\cA]$ なので, ${}^\forall B \in \cA$ に対して $A \cap B \in \cA \subset \lambda[\cA]$. これは, 条件 \eqref{4}をみたす ) . すると当然, $\lambda[\cA]$ は $\cA$ を含む最小のDynkin族なので, $\cD_1 \supset \lambda[\cA]$.

いま, 以下のように $S$ の集合族 $\cD_2$ を定義すると,

$\cA \subset \cD_2$ である ( $\because$ 上で示した $\cD_1 \supset \lambda[\cA]$が意味することは, $\cD_1$ の定義\eqref{4}と照らし合わせると, $A \in \lambda[\cA],\; B \in \cA \Longrightarrow A \cap B \in \lambda[\cA]$ ということであり, これは $B \in \cA$ のとき, $B \in \cD_2$ であるということ.

今, $\cD_1$ がDynkin族であることを示したのと同じようにして$\cD_2$ がDynkin族であることがわかる. よって, $\cA \subset \cD_2$ より, $\lambda[\cA] \subset \cD_2$. これが示すことは, $\cD_2$ の定義より

であり, これは $\lambda[\cA]$ が乗法族であることにほかならない.

$\blacksquare$