\pi\lambda 定理, Dynkin族定理
最終更新:2021/08/27
\pi\lambda 定理, Dynkin族定理の証明
非専門家が書いています. 十分に批判的に読んで頂くようお願いいたします. 間違い・疑問点などあれば, ぜひコンタクトフォームへ連絡いただけると幸いです.
定義
\cA を集合 S のある部分集合族とする.
完全加法族 ( \sigma-加法族 )
以下の3つの条件をみたす集合族 \cA を S 上の \sigma-加法族という.
乗法族 ( \pi系 )
\cA が交演算で閉じているとき, \cA は乗法族であるという. すなわち,
Dynkin族 ( \lambda系 )
\cA が以下の3つをみたすとき\cA はDynkin族という.
(D.2), (D.3)は可算直和, 固有差で閉じているということ. (D.3)のかわりに以下が使われることもある.
\cA で生成されるDynkin族
\cA を含む最小のDynkin族を「\cA で生成されるDynkin族」とよび, \lambda [\cA] と記す.
\pi \lambda 定理
\cA が乗法族かつDynkin族なら \sigma-加法族である.
証明
\sigma-加法族の条件を一つづつ確かめていく.
条件1
\cA がDynkin族なので S \in \cA である.
条件2
A \in \cA ならば, A^c = S \setminus A である.
Dynkin族は固有差で閉じているので, A^c \in \cA.
条件3
A_n \in \cA (n = 1, 2,\ldots) \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \cA をいえばよい.
であり, \cA は乗法族であったので右辺は \cA に属する.
\blacksquare
Dynkin族定理
\cA が乗法族ならば, \lambda[\cA] = \sigma[\cA].
証明
\lambda[\cA] \subset \sigma[\cA] はあきらか. なぜなら, \sigma-加法族はDynkin族の条件をみたすので, \sigma[\cA] はDynkin族であり, 当然 \cA を含む最小のDynkin族 \lambda[\cA] を含む. よって, \lambda[\cA] \supset \sigma[\cA] を示せばよい. そのためには, \lambda[\cA] が \sigma-加法族であることを言えば十分であるが, そもそも \lambda[\cA] がDynkin族であるので, \pi \lambda 定理より \lambda[\cA] が乗法族であることを言えば良い.
今, 以下のような S の集合族 \cD_1 を用意する.
すると, \cD_1 はDynkin族となる.
証明 ( click )
地道に(D.1), (D.2), (D.3)を確認すればよい.
( D.1 )
S \cap B = B,\; B \in \cA \subset \lambda[\cA] なのでもちろん, S \in \cD_1.
( D.2 )
C, D \in \cD_1 で非交のとき, B \in \cA に対して, (C+D) \cap B = (C \cap B) + (D \cap B) である.
C \in \cD_1, B \in \cA なので, C \cap B \in \lambda[\cA], 同様に D \cap B \in \lambda[\cA].
よって, Dynkin族の定義より, (C+D) \cap B \in \lambda[\cA].
( D.3 )
C, D \in \cD_1,\; C \subset D とする.
B \in \cA に対して, (D \setminus C) \cap B = (D \cap B) \setminus (C \cap B) であり, D.2を示したのと同様に (D \cap B),\; (C \cap B) \in \lambda[\cA].
しかも, C \cap B \subset D \cap B なので, Dynkin族の定義より D \setminus C \in \cD_1.
\square
また, 仮定より \cA は乗法族であることから \cD_1 \supset \cA ( \because A \in \cA とすると, A \in \lambda[\cA] なので, {}^\forall B \in \cA に対して A \cap B \in \cA \subset \lambda[\cA]. これは, 条件 \eqref{4}をみたす ) . すると当然, \lambda[\cA] は \cA を含む最小のDynkin族なので, \cD_1 \supset \lambda[\cA].
いま, 以下のように S の集合族 \cD_2 を定義すると,
\cA \subset \cD_2 である ( \because 上で示した \cD_1 \supset \lambda[\cA]が意味することは, \cD_1 の定義\eqref{4}と照らし合わせると, A \in \lambda[\cA],\; B \in \cA \Longrightarrow A \cap B \in \lambda[\cA] ということであり, これは B \in \cA のとき, B \in \cD_2 であるということ.
今, \cD_1 がDynkin族であることを示したのと同じようにして\cD_2 がDynkin族であることがわかる. よって, \cA \subset \cD_2 より, \lambda[\cA] \subset \cD_2. これが示すことは, \cD_2 の定義より
であり, これは \lambda[\cA] が乗法族であることにほかならない.
\blacksquare
感想・参考文献
感想
Dynkin族定理の証明は, \cD_1, \cD_2 を作るところがトリッキーだと思う. どうやったらこれらの集合族を作るアイデアに至るのだろうか?
参考文献
伊藤清 確率論 (岩波基礎数学選書)
東京大学 数理手法VI(楠岡成雄)1-3 1.1.2 Dinkin系.