Carathéodoryの定理 ( カラテオドリの拡張定理 ) . 伊藤『確率論』定理2.3.
証明
方針
$\mu^*|_\cM$ が $\Omega$ 上の測度であるとき, $\mu^*(\Omega) = 1$ ならば $\mu^*|_\cM$ が確率測度となるのは確率測度の定義そのものである.
よって, 示すべきは $\mu^*|_\cM$ が $\Omega$ 上の測度であることであり, そのためには以下の二点を示せばよい.
- $\mu^*|_\cM$ の定義域 $\cD(\mu^*|_\cM) = \cM$ が $\sigma$-加法族であること.
- $\mu^*|_\cM$ が測度の性質を満たすこと.
また, $A \in \cM$ が $\mu^*$可測とは, 任意の $W \subset \Omega$ に対して以下が成立することである.
\begin{align}\large{
\mu^*(W) = \mu^*(W \cap A) + \mu^*(W \cap A^c).
}\end{align}
$\mu^*$可測を示すとき, $\leq$ は自明なので $\geq$ を示せば充分である.
$\mu^*|_\cM$ の定義域 $\cD(\mu^*|_\cM) = \cM$ は $\sigma$-加法族
$\sigma$-加法族の性質をひとつづつ確認する.
σ.1
任意の $W \subset \Omega$ に対して,
\begin{align}
\mu^*(W \cap \Omega) + \mu^*(W \cap \Omega^c) &= \mu^*(W \cap \Omega) + \mu^*(W \cap \varnothing) \\[5pt]
&= \mu^*(W) \notag
\end{align}
なので, $\Omega \in \cM$.
σ.2
$A \in \cM$ とすると任意の $W \subset \Omega$ に対して,
\begin{align}
\mu^*(W) &= \mu^*(W \cap A) + \mu^*(W \cap A^c) \\[5pt]
&= \mu^*(W \cap A^c) + \mu^*(W \cap A). \notag
\end{align}
よって, $A^c \in \cM$.
σ.3
$\cM$ が可算和について閉じていることをいうのだが, まずは有限和で閉じていること即ち,
\begin{align}
A, B \in \cM \Longrightarrow A \cup B \in \cM
\end{align}
を示そう.
$A \in \cM$ より任意の $W \subset \Omega$ に対して,
\begin{align}
\mu^*(W) \geq \mu^*(W \cap A) + \mu^*(W \cap A^c)
\end{align}
であり, $B \in \cM$ かつ, $W \cap A^c \subset \Omega$ なので,
\begin{align}
\mu^*(W \cap A^c) \geq \mu^*((W \cap A^c) \cap B) + \mu^*((W \cap A^c) \cap B^c).
\end{align}
よって,
\begin{align}
\mu^*(W) &\geq \mu^*(W \cap A) + \mu^*(W \cap A^c \cap B) + \mu^*(W \cap A^c \cap B^c) \\[5pt]
&\geq \mu^*(W \cap (\color{red}{A + A^c \cap B})) + \mu^*(W \cap A^c \cap B^c) \notag \\[5pt]
&= \mu^*(W \cap (\color{red}{A \cup B})) + \mu^*(W \cap (A \cup B)^c). \notag
\end{align}
よって, $A \cup B \in \cM$.
ここで, $\color{red}{A + A^c \cap B = A \cup B}$ を使った ( $+$は直和 ) .
次に, $\cM$ が可算直和で閉じていることを示そう.
もし, $A_1, A_2, \ldots$ が互いに素ならば,
\begin{align}
\mu^*(W) &\geq \mu^*(W \cap A_1) + \mu^*(W \cap A_1^c) \\[5pt]
&\geq \mu^*(W \cap A_1) + \mu^*(W \cap A_1^c \cap A_2) + \mu^*(W \cap A_1^c \cap A_2^c) \notag \\[5pt]
&= \mu^*(W \cap A_1) + \mu^*(W \cap A_2) + \mu^*(W \cap A_1^c \cap A_2^c). \notag
\end{align}
これをくりかえすと,
\begin{align}
\mu^*(W) &\geq \sum_{n=1}^{N} \mu^*(W \cap A_n) + \mu^*(W \cap A_1^c \cap \cdots \cap A_N^c) \\[5pt]
&\geq \sum_{n=1}^{N} \mu^*(W \cap A_n) + \mu^*(W \cap A_1^c \cap \cdots \cap A_N^c \cap A_{N+1}^c \cap \cdots) \notag \\[5pt]
&= \sum_{n=1}^{N} \mu^*(W \cap A_n) + \mu^* \left( W \cap \bigcap_{n=1}^\infty A_n^c \right). \notag
\end{align}
$n \rightarrow \infty$ として
\begin{align}
\mu^*(W) &\geq \sum_{n=1}^{\infty} \mu^*(W \cap A_n) + \mu^*\left(W \cap \bigcap_{n=1}^\infty A_n^c\right) \label{a} \\[5pt]
&= \sum_{n=1}^{\infty} \mu^*(W \cap A_n) + \mu^*\left(W \cap \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)^c \; \right) \notag \\[5pt]
&= \mu^*\left(W \cap \sum_{n=1}^{\infty}A_n\right) + \mu^*\left(W \cap \left(\sum_{n=1}^\infty A_n\right)^c \; \right) \notag
\end{align}
これで, $\sum_{n=1}^{\infty}A_n \in \cM$ が示せた.
これで, $\cM$ が可算和で閉じていること, すなわち
\begin{align}
A_1, A_2, \ldots \in \cM \Longrightarrow \bigcup_n A_n \in \cM
\end{align}
を示す準備ができた.
\begin{align}
\bigcup_n A_n &= \sum_{n=1}^\infty A_n \cap (A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1})^c \\[5pt]
&= \sum_{n=1}^\infty (A_n^c \cup A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1})^c
\end{align}
であることと, $\cM$ がここまでで証明したとおり, 有限和で閉じていること, 可算直和で閉じていること, 補演算で閉じていること ( σ.2 ) から
$\bigcup_n A_n \in \cM$, 則ち可算和で閉じていることがわかった.
これで, $\cM$ が$\sigma$-加法族であることが示せた.
$\square$
$\mu^*|_\cM$ は測度
$\mu^*$ が外測度であることから $\mu^*(\varnothing) = 0$, また $\cM$ が $\sigma$-加法族なので $\varnothing \in \cM$ で $\mu^*|_\cM(\varnothing) = 0$.
よって残るは $\mu^*|_\cM$ の $\sigma$-加法性 を示せば良い.
不等式\eqref{a}に
\begin{align}
W = \sum_{n=1}^\infty A_n \quad (A_1, A_2, \ldots \in \cM)
\end{align}
を代入して $\sum A_n \in \cM$ を考慮すると,
\begin{align}
\mu^*|_\cM\left(\sum_{n=1}^\infty A_n\right) \geq \sum_{n=1}^\infty \mu^*|_\cM(A_n)
\end{align}
であり, 一方外測度の劣加法性より
\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty \mu^*|_\cM(A_n) \geq \mu^*|_\cM\left(\sum_{n=1}^\infty A_n\right)
\end{align}
でもあるので,
\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty \mu^*|_\cM(A_n) = \mu^*|_\cM\left(\sum_{n=1}^\infty A_n\right).
\end{align}
これで $\mu^*|_\cM$ が測度の性質を満たすことがわかった.
$\square$
これで, $\mu^*|_\cM$ はちゃんと可測空間で定義されており, 測度の性質も満たすので測度であるとわかった.
$\blacksquare$