Lebesgue拡大（確率測度の完備化）

定理（伊藤『確率論』の問）

$P$ を確率測度, 確率空間は $(\Omega, \cD(P), P)$ とする. $P(N) = 0$ となる $P$-可測集合を $P$-零集合という. $P$-零集合の部分集合が全て $P$-可測（よって $P$-零）であるとき, $P$ を完備確率測度という.

任意の確率測度 $P$ に対して完備拡張は必ず存在し, しかもその中の最小の拡大が存在する. この拡張をLebesgue拡大という.

証明

方針

天下り的だが, 教科書のヒントを用いて,

とすると, これがLebesgue拡大となっていることを示す. となると, 示すべき事は以下の4つである.

1. $\cD(Q)$ は $\sigma$-加法族,
2. $Q$ は確率測度,
3. $(\Omega, \cD(Q), Q)$ が完備確率空間,
4. これが, 完備拡張の中で最小.

1.$\cD(Q)$ は $\sigma$-加法族

$\sigma$-加法族の定義をひとつづつ確認していく.

　 σ.1 　
$\varnothing \in \cD(Q)$ は明らか.

　 σ.2 　
$A \in \cD(Q)$ とすると, $\cD(Q)$ の定義より

$\cD(P)$ は $\sigma$-加法族なので, $B_1^{\;c},\; B_2^{\;c} \in \cD(P)$ で, また,

今,

であるので, 式$\eqref{eq_i}$, $\eqref{eq_ro}$より $A^{c}$ が $\cD(Q)$ の定義を満たしている, つまり $A^{c} \in \cD(Q)$.

　 σ.3 　
$A_n \in \cD(Q)$ とする. $A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \cD(Q)$ を示せば良い.

$A_n \in \cD(Q)$ より, 各 $n$ について

である. いま

と定義する. すると当然

でありまた,

となる（1行目→2行目は簡単な集合論の考え方でわかる）. これで, $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \cD(Q)$ が示された.

条件 σ.1, σ.2, σ.3 が確認されたので $\cD(Q)$ の $\sigma$-加法性はOK.

$\square$

2.$Q$ は確率測度

確率測度の定義をひとつづつ確認していく.

　 1 　
もとより $P$ が確率測度で有るので, $P$ を用いて定義されている $Q$ についても $0 \leq Q(A) \leq \infty$ は明らか.

　 2 　
$A_n \in \cD(Q)$ で互いに素, $A = \bigcup_{n=1}^{\infty}$ とする.

$A_n \in \cD(Q)$ より, 各 $n$ について

である. いま

と定義する. すると

となる. 等式 $\color{red}{=}$ が成立するのは, $A_n$ が互いに素なので $B_{1n}$ も互いに素だから.
等式 $\color{blue}{=}$ が成立するのは, $A-B_1 \subset B_2 - B_1$, $P(B_2 - B_1) = 0$ だから.

　 3 　
$P(\Omega) = 1$ なので, $Q(\Omega)$ も $1$ となる.

これで, $Q$ が確率測度の定義を満たすことがわかった.

$\square$

3.$(\Omega, \cD(Q), Q)$ が完備確率空間

$N \subset A$, $Q(A) = 0$ とする. $\cD(Q)$ の定義より,

また, $P(B_2) - P(B_1) = 0$ より, $P(B_2)$ も $0$.

いま, $B_1 = \{ \varnothing \}$ とすれば, $N \subset A \subset B_2$ なので, $B_1 \subset N \subset B_2$ でありまた, $P(B_2 - B_1) = 0$. よって, $N \in \cD(Q)$.

$\square$

4.完備拡張の中で最小

これ若干自信がないというか定性的です.

は, 全ての $B \in \cD(P)$ と, 任意の $P$-零集合の全ての部分集合を含む. しかも, このような $\sigma$-加法族 は上に示す $A$ を必ず含まなければならないので最小である.

$\square$

これで定理は示された.

$\blacksquare$

一般の測度の場合

伊藤ルベーグでは, 一般の測度の場合の完備化が以下のように記されている.

測度空間 $(\Omega, \cB, \mu)$ について, $E \subset \Omega$ のなかで

なるものの全体を $\overline{\cB}$, また $\overline{\mu} = \mu(B)$ としたとき（$\ominus$ は対称差）, 確率空間 $(\Omega, \overline{\cB}, \overline{\mu})$ が最小の完備化となる.