分布列の収束
最終更新:2021/11/28
分布列の収束の定義と, 同値な命題 ( 伊藤『確率論』定理2.10 ).
非専門家が書いています. 十分に批判的に読んで頂くようお願いいたします. 間違い・疑問点などあれば, ぜひコンタクトフォームへ連絡いただけると幸いです.
定義
分布列 \{\mu\} が \mu に収束するとは, 任意の 有界連続実函数 f に対して,
が成立すること. これを,
と記す.
分布の収束と同等な命題 ( 定理2.10 )
以下は同等. ただし, 分布 \mu_n, \mu の分布函数を F_n, F とする.
- \mu_n \longrightarrow \mu,
-
コンパクトな台をもつ任意の連続函数 g に対し,
\begin{align} \large \int_{\mathbb{R}^1} g(x) \mu_n(dx) \longrightarrow \int_{\mathbb{R}^1} g(x) \mu(dx) \quad (n \rightarrow \infty) \end{align}
- E^o, \overline{E} をそれぞれ E の開核, 閉包とする. このとき, \mu(E^o) = \mu(\overline{E}) なる全ての E に対し, \mu_n(E) \longrightarrow \mu(E),
- F の全ての連続点にたいして, F_n(x) \longrightarrow F(x),
- \mathbb{R}^1 で稠密な可算集合 C があって, {}^\forall x \in C に対して, F_n(x) \longrightarrow F(x).
証明
\mathrm{(iii)} \Rightarrow \mathrm{(iv)} \Rightarrow \mathrm{(v)} はあきらかなので, \mathrm{(v)} \Rightarrow \mathrm{(ii)} \Rightarrow \mathrm{(i)} \Rightarrow \mathrm{(iii)} を示す.
\mathrm{(v)} \Rightarrow \mathrm{(ii)}
g をコンパクトな台をもつ連続函数とする. すると, g は一様連続.
( \because ) ( click )
例えば, 松坂『集合と位相』6章定理6. (S, d) がコンパクトな距離空間なら, (S, d) から任意の距離空間 (S', d') への連続函数は一様連続.
したがって, {}^\forall \ve \gt 0 に対してコンパクトな台をもつ左連続階段函数 g_\ve(x) があって,
注意 ( click )
一様連続であるので, \ve という定数で抑えられる. 連続だが, 一様連続でない函数として, 例えば 1/x を考えれば 0 に近いところで \ve の様な定数が取れないことは解るだろう.
また, 仮定 ( v ) の C は稠密 ( 即ち \overline{C} = \mathbb{R}^1 ) なので, 階段函数 g_\ve の飛躍点 a_i = a_i(\ve), (i = 0, 1, \ldots, m, m = m(\ve)) は全て C に属すると仮定してよい ( もし, a_i が C の点でなくても, C の集積点ではあるので, 上の式を満たすような C の点を限りなく a_i に近づけることで選べなおせる ) .
いま, 簡単のため以下を定める.
すると,
ここで, 第1項 ( また第2項も同様に )
が成り立つ. また, 第3項については,
で抑えられる. 一方, 仮定 ( v ) によって, 全ての i = 0, 1, \ldots, m に対して, \lim_{n \rightarrow \infty}F_n(a_i) = F(a_i) なので, 結局上の式は n \rightarrow \infty で 0 に収束する.
これらをまとめると,
\ve は任意なので, n \rightarrow \infty で (g, \mu_n) - (g, \mu) \rightarrow 0.
\square
\mathrm{(ii)} \Rightarrow \mathrm{(i)}
f を任意の有界連続実函数とする. {}^\forall m \gt 0 に対し, [-m, m] で f と一致し, [-m-1, m+1] の外では 0 となる連続函数 g を用意する. また, f-g は有界なので, ある定数 C が存在して, |f(x) - g(x)| \leq C となる. この C を用いて, 連続函数 h(x) を
と定義する.

今, 証明のゴールは |(f, \mu_n) - (f, \mu)| が n \rightarrow \infty で 0 となることである.
f - g が [-m, m] で 0 なので ( 上図 ) ,
よって,
C - h は [-m, m] ( コンパクト ) の外では 0 なので, 仮定 ( ii ) より, 以下がなりたつ.
よって,
また,
なお上の2式において, (h, \mu) \leq C \mu([-m+1, m-1]^c) である理由は,
さらに, 函数 g はコンパクトな台をもつので, 仮定 ( ii ) より,
ここまでで得られた不等式を式\eqref{bb}に代入すると,
右辺は, m \rightarrow \infty で 0 に収束するので,
\square
\mathrm{(i)} \Rightarrow \mathrm{(iii)}
E を条件 ( iii ) を満たす集合とする ( \mu(E^o) = \mu(\overline{E}) ) . \mathbb{R}^1 の中では,
- 全ての開集合は増加閉集合の極限,
- 全ての閉集合は減少開集合の極限
であるから ( 例えば伊藤ルベーグ§4定理3.4 ) , あらゆる \ve \gt 0 に対して F_\ve \subset E^o となる閉集合 F_\ve と, G_\ve \supset \overline{E} となる開集合 G_\ve が存在する. すると,
仮定より, \mu(E^o) = \mu(\overline{E})=\mu(E) なので,
この開集合 G_\ve と閉集合 \overline{E} とに対して連続函数 f_\ve をとって,
と定義する. すると, 仮定 ( i ) より
不等号 \color{#cf201f}{\leq} が成り立つ理由は, 以下の通り.
よって,
同様に, E^o と F_\ve に対して連続函数 g_\ve をとって,
これで, 式\eqref{cc}と上式とから
がいえた.
\square
これで, 条件 ( i ) ~ ( v ) の同値性がいえた.
\blacksquare
感想・参考文献
感想
これで, 分布収束を示すときに使えそうな同値な条件が得られた. 結構難しかった.
参考文献
伊藤清 確率論 (岩波基礎数学選書)
松坂 集合・位相入門