伊藤『確率論』定理3.4 Borel - Cantelli
最終更新：2022/02/20
伊藤『確率論』定理3.4 Borel - Cantelli.
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定理
\begin{align}
\large \sum_{n=1}^{\infty} P \{ \alpha_n \} \lt \infty \Longrightarrow P(\alpha_n \; i.o.) = 0,\; P(\neg \alpha_n \; f.e.) = 1.
\end{align}
証明
$A_n = \{ \alpha_n \}$ とおく. すると, 定理の主張は,
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) \lt \infty &\Rightarrow P \left( \bigcap_n \bigcup_{k \gt n} A_k \right) = 0, \\[5pt]
&\Rightarrow P \left( \bigcup_n \bigcap_{k \gt n} \overline{A_k} \right) = 1 \notag
\end{align}
となる. これを示そう.
いま,
\begin{align}
\overline{\bigcap_n \bigcup_{k \gt n} A_k} = \bigcup_n \overline{\bigcup_{k \gt n} A_k} = \bigcup_n \bigcap_{k \gt n} \overline{A_k} \quad ( \because \text{De Morgan})
\end{align}
なので,
\begin{align}
\bigcap_n \bigcup_{k \gt n} A_k = \overline{\bigcup_n \bigcap_{k \gt n} \overline{A_k}} \tag{A} \label{eq1}
\end{align}
となる.
すべての $n$ に対し
\begin{align}
P \left( \bigcap_n \bigcup_{k \gt n} A_k \right) \leq P \left( \bigcup_{k \gt n} A_k \right) \leq \sum_{k \gt n} P(A_k)
\end{align}
でありまた, 仮定 ( $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty$ ) より, 右辺は $n \to \infty$ で $0$ に収束せざるを得ない. よって,
\begin{align}
P \left( \bigcap_n \bigcup_{k \gt n} A_k \right) = 0.
\end{align}
つまり, $P(\alpha_n \; i.o.) = 0$. また, \eqref{eq1} より $P(\neg \alpha_n \; f.e.) = 1$ となる.
$\blacksquare$
感想・参考文献
参考文献
伊藤清 確率論 (岩波基礎数学選書)