一致の定理と零点の性質

準備：一致の定理

定理１

領域 $D$ で解析的な函数 $f$ に対して, 次は互いに同値.

1. $D$ のある一点 $z_0$ に対して $f^{(n)} = 0 \; (n = 1, 2, \ldots)$.
2. $D$ のある一点 $z_0$ の近傍で, $f$ は恒等的に $0$.
3. $f$ は $D$ で恒等的に $0$.

証明

　(i) $\Longrightarrow$ (ii)　
点 $z_0$ のまわりの冪級数展開を,

とする. これは, 項別微分できて,

となることから $z = z_0$ を代入していけば明らかに (ii) が成立することがわかる.

　(ii) $\Longrightarrow$ (iii)　
(ii)が成立するとき, $D$ の部分集合 $D^{\prime}$ を $D$ の点 $z$ で, その適当な近傍で $f$ が恒等的に $0$ となるものの全体とする. 少なくとも, $z_0 \in D^{\prime}$ であるので, $D^{\prime} \neq \emptyset$. また, 明らかに $D^{\prime}$ は開集合 ( 直感的には当然そう思うが, どうやったら厳密に示せるだろう？ ) .

$D$ の点 $z$ が, $z \in \overline{D^{\prime}}$ ( バーは閉包 ) であれば, ( 解析函数は何回でも微分可能なので ) その $n$ 次導函数 $f^{(n)}$ は連続であり, $D^{\prime}$ では恒等的に $0$ ゆえに導函数も $0$ であることをふまえると, $f^{(n)} = 0 \; (n = 0, 1, \ldots)$ が成立. この事実と, 先に示した (i) $\Rightarrow$ (ii) から, $f$ はこの $z$ のある近傍で $0$ となる. つまり, $z \in D^{\prime}$. これらよりわかったことは, $z \in \overline{D^{\prime}} \Rightarrow z \in D^{\prime}$. これは, $D^{\prime}$ が閉じている, つまり $D^{\prime}$ の補集合 $D - D^{\prime}$ が開いていることを示す.

$D^{\prime}$ もその補集合 $D - D^{\prime}$ も開集合であることと, $D$ の連結性より, どちらか一方は $\emptyset$. $D^{\prime} \neq \emptyset$ はもとより判っているので, $D - D^{\prime} = \emptyset$. 則ち, $D = D^{\prime}$.

　(iii) $\Longrightarrow$ (i)　
これは, 自明である.

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系 ( 一致の定理, 解析接続の原理 )

領域 $D$ で解析的な函数 $f$, $g$ が $D$ の一点の近傍で等しければ, $f$ と $g$ は $D$ 上いたるとところ等しい.

証明

$f-g$ が $D$ のある一点の近傍で恒等的に $0$ なので, 定理１ (ii) $\Rightarrow$ (iii) より, $f-g$ は恒等的に $0$.

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定義
領域 $D$ で解析的な函数 $f$ に対して, $f(z) = 0$ をみたす $D$ の点のことを $f$ の「零点」という.

零点の性質

定理２

領域 $D$ で解析的かつ, 恒等的に $0$ ではない函数 $f$ の零点の集合は, $D$ 内に集積点を持たない.
換言：$f(z_0) = 0$, $z_0 \in D$ なら, $z_0$ の十分小さな近傍で $z \neq z_0 \Rightarrow f(z) \neq 0$. どんなに小さくても, $z_0$ のある近傍で $f(z) \neq 0$ が保証されているなら, $z_0$ に零点が集積しようがないことは容易に想像できる.

証明

$z_0$ の近傍で, $f$ の冪級数展開を $f(z) = \sum_{n \geq 0} a_n (z - z_0)^n$ とすれば, $a_n$ の全てが $0$ であることはありえない. なぜなら, 定理１より, 係数が全て $0$ であると恒等的に函数 $f$ は $0$ になってしまうから.

上記のことを踏まえ, 今, $a_0 = a_1 = \cdots a_{k-1} = 0$, $a_k \neq 0$ とすると, 冪級数 $f(z) = \sum_{n \geq k} a_n (z - z_0)^{n-k}$ は, $|z - z_0|$ が十分小さいとき収束し ( というか, 解析函数の冪級数展開なので収束するような $|z - z_0|$ が値があることが保証されている ) , $z = z_0$ ならば, $0$ とはならない. 従って, $f(z) = (z - z_0)^k \sum_{n \geq k} a_n (z - z_0)^{n-k}$ であるので, $|z - z_0|$ が十分小さいとき, $f(z)$ も $0$ とはならない.

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系

$f$ が領域 $D$ で解析的で, 恒等的に $0$ でなければ, $D$ 内の任意のコンパクト集合に含まれる $f$ の零点は高々有限個である.

証明

Bolzano-Weierstrassの定理より, コンパクト集合の零点が無限個あると, 集積点をもってしまう. これは, 定理２に反する.

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感想

我々工学系では, 複素積分に力をいれるため, こういった内容を習わないことも多いかもしれない. けれども, 面白い内容だし, 教えるといいとも思いつつ, 集合・位相の授業がない工学部では難しいのかなという気もする.