$ \newcommand\bm[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand\ve{\varepsilon} \newcommand\vecseq[3]{{#1}_{#2}, \ldots, {#1}_{#3}} \newcommand\cA{\mathcal{A}} \newcommand\cD{\mathcal{D}} \newcommand\cB{\mathcal{B}} \newcommand\cM{\mathcal{M}} $
 

Carathéodoryの定理

Carathéodoryの定理 ( カラテオドリの拡張定理 ) . 伊藤『確率論』定理2.3.


非専門家が書いています. 十分に批判的に読んで頂くようお願いいたします. 間違い・疑問点などあれば, ぜひコンタクトフォームへ連絡いただけると幸いです.

Carathéodoryの定理

$\mu^*$ を $\Omega$ 上の外測度とし, $\cM$ を $\mu^*$可測な集合の全体とするとき, $\mu^*$ を $\cM$ に制限したもの $\mu^*|_\cM$ は $\Omega$ 上の測度である. 特に, $\mu^*(\Omega) = 1$ のときには $\mu^*|_\cM$ は確率測度となる.

証明

方針

$\mu^*|_\cM$ が $\Omega$ 上の測度であるとき, $\mu^*(\Omega) = 1$ ならば $\mu^*|_\cM$ が確率測度となるのは確率測度の定義そのものである. よって, 示すべきは $\mu^*|_\cM$ が $\Omega$ 上の測度であることであり, そのためには以下の二点を示せばよい.

  1. $\mu^*|_\cM$ の定義域 $\cD(\mu^*|_\cM) = \cM$ が $\sigma$-加法族であること.
  2. $\mu^*|_\cM$ が測度の性質を満たすこと.

また, $A \in \cM$ が $\mu^*$可測とは, 任意の $W \subset \Omega$ に対して以下が成立することである.

\begin{align}\large{ \mu^*(W) = \mu^*(W \cap A) + \mu^*(W \cap A^c). }\end{align}

$\mu^*$可測を示すとき, $\leq$ は自明なので $\geq$ を示せば充分である.

$\mu^*|_\cM$ の定義域 $\cD(\mu^*|_\cM) = \cM$ は $\sigma$-加法族

$\sigma$-加法族の性質をひとつづつ確認する.

  σ.1  
任意の $W \subset \Omega$ に対して,

\begin{align} \mu^*(W \cap \Omega) + \mu^*(W \cap \Omega^c) &= \mu^*(W \cap \Omega) + \mu^*(W \cap \varnothing) \\[5pt] &= \mu^*(W) \notag \end{align}

なので, $\Omega \in \cM$.

  σ.2  
$A \in \cM$ とすると任意の $W \subset \Omega$ に対して,

\begin{align} \mu^*(W) &= \mu^*(W \cap A) + \mu^*(W \cap A^c) \\[5pt] &= \mu^*(W \cap A^c) + \mu^*(W \cap A). \notag \end{align}

よって, $A^c \in \cM$.

  σ.3  
$\cM$ が可算和について閉じていることをいうのだが, まずは有限和で閉じていること即ち,

\begin{align} A, B \in \cM \Longrightarrow A \cup B \in \cM \end{align}

を示そう. $A \in \cM$ より任意の $W \subset \Omega$ に対して,

\begin{align} \mu^*(W) \geq \mu^*(W \cap A) + \mu^*(W \cap A^c) \end{align}

であり, $B \in \cM$ かつ, $W \cap A^c \subset \Omega$ なので,

\begin{align} \mu^*(W \cap A^c) \geq \mu^*((W \cap A^c) \cap B) + \mu^*((W \cap A^c) \cap B^c). \end{align}

よって,

\begin{align} \mu^*(W) &\geq \mu^*(W \cap A) + \mu^*(W \cap A^c \cap B) + \mu^*(W \cap A^c \cap B^c) \\[5pt] &\geq \mu^*(W \cap (\color{red}{A + A^c \cap B})) + \mu^*(W \cap A^c \cap B^c) \notag \\[5pt] &= \mu^*(W \cap (\color{red}{A \cup B})) + \mu^*(W \cap (A \cup B)^c). \notag \end{align}

よって, $A \cup B \in \cM$. ここで, $\color{red}{A + A^c \cap B = A \cup B}$ を使った ( $+$は直和 ) .

次に, $\cM$ が可算直和で閉じていることを示そう. もし, $A_1, A_2, \ldots$ が互いに素ならば,

\begin{align} \mu^*(W) &\geq \mu^*(W \cap A_1) + \mu^*(W \cap A_1^c) \\[5pt] &\geq \mu^*(W \cap A_1) + \mu^*(W \cap A_1^c \cap A_2) + \mu^*(W \cap A_1^c \cap A_2^c) \notag \\[5pt] &= \mu^*(W \cap A_1) + \mu^*(W \cap A_2) + \mu^*(W \cap A_1^c \cap A_2^c). \notag \end{align}

これをくりかえすと,

\begin{align} \mu^*(W) &\geq \sum_{n=1}^{N} \mu^*(W \cap A_n) + \mu^*(W \cap A_1^c \cap \cdots \cap A_N^c) \\[5pt] &\geq \sum_{n=1}^{N} \mu^*(W \cap A_n) + \mu^*(W \cap A_1^c \cap \cdots \cap A_N^c \cap A_{N+1}^c \cap \cdots) \notag \\[5pt] &= \sum_{n=1}^{N} \mu^*(W \cap A_n) + \mu^* \left( W \cap \bigcap_{n=1}^\infty A_n^c \right). \notag \end{align}

$n \rightarrow \infty$ として

\begin{align} \mu^*(W) &\geq \sum_{n=1}^{\infty} \mu^*(W \cap A_n) + \mu^*\left(W \cap \bigcap_{n=1}^\infty A_n^c\right) \label{a} \\[5pt] &= \sum_{n=1}^{\infty} \mu^*(W \cap A_n) + \mu^*\left(W \cap \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)^c \; \right) \notag \\[5pt] &= \mu^*\left(W \cap \sum_{n=1}^{\infty}A_n\right) + \mu^*\left(W \cap \left(\sum_{n=1}^\infty A_n\right)^c \; \right) \notag \end{align}

これで, $\sum_{n=1}^{\infty}A_n \in \cM$ が示せた.

これで, $\cM$ が可算和で閉じていること, すなわち

\begin{align} A_1, A_2, \ldots \in \cM \Longrightarrow \bigcup_n A_n \in \cM \end{align}

を示す準備ができた.

\begin{align} \bigcup_n A_n &= \sum_{n=1}^\infty A_n \cap (A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1})^c \\[5pt] &= \sum_{n=1}^\infty (A_n^c \cup A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1})^c \end{align}

であることと, $\cM$ がここまでで証明したとおり, 有限和で閉じていること, 可算直和で閉じていること, 補演算で閉じていること ( σ.2 ) から $\bigcup_n A_n \in \cM$, 則ち可算和で閉じていることがわかった.

これで, $\cM$ が$\sigma$-加法族であることが示せた.

$\square$

$\mu^*|_\cM$ は測度

$\mu^*$ が外測度であることから $\mu^*(\varnothing) = 0$, また $\cM$ が $\sigma$-加法族なので $\varnothing \in \cM$ で $\mu^*|_\cM(\varnothing) = 0$. よって残るは $\mu^*|_\cM$ の $\sigma$-加法性 を示せば良い.

不等式\eqref{a}に

\begin{align} W = \sum_{n=1}^\infty A_n \quad (A_1, A_2, \ldots \in \cM) \end{align}

を代入して $\sum A_n \in \cM$ を考慮すると,

\begin{align} \mu^*|_\cM\left(\sum_{n=1}^\infty A_n\right) \geq \sum_{n=1}^\infty \mu^*|_\cM(A_n) \end{align}

であり, 一方外測度の劣加法性より

\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \mu^*|_\cM(A_n) \geq \mu^*|_\cM\left(\sum_{n=1}^\infty A_n\right) \end{align}

でもあるので,

\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \mu^*|_\cM(A_n) = \mu^*|_\cM\left(\sum_{n=1}^\infty A_n\right). \end{align}

これで $\mu^*|_\cM$ が測度の性質を満たすことがわかった.

$\square$

これで, $\mu^*|_\cM$ はちゃんと可測空間で定義されており, 測度の性質も満たすので測度であるとわかった.

$\blacksquare$

感想・参考文献

参考文献

伊藤清 確率論 (岩波基礎数学選書)

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