証明
方針
条件 (i)を言いかえると,
\begin{align}
& \large {}^\forall \varepsilon \gt 0,\quad {}^\forall a \in I,\quad {}^{\exists} \delta
(\varepsilon, a) \gt 0, \\[8pt]
& \large {}^\forall x \in I \qquad
|x-a| \lt \delta (\varepsilon, a) \Longrightarrow |f_n(x)-f_n(a)| \lt \varepsilon. \notag
\end{align}
条件 (ii)を言いかえると,
\begin{align}
& \large {}^\forall \varepsilon \gt 0,\quad {}^{\exists} N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, \\[8pt]
& \large {}^\forall x \in I ,\quad {}^\forall n \in \mathbb{N} \qquad
n \geq N(\varepsilon) \Longrightarrow |f_n(x)-f(x)| \lt \varepsilon. \notag
\end{align}
この2つから, $f(x)$ は $I$ で連続であるという結論, 則ち以下を導けば良い.
\begin{align}
& \large {}^\forall \varepsilon \gt 0,\quad {}^\forall a \in I,\quad {}^{\exists} \delta
(\varepsilon, a) \gt 0, \\[8pt]
& \large {}^\forall x \in I \qquad
|x-a| \lt \delta (\varepsilon, a) \Longrightarrow \color{red}{|f(x)-f(a)| } \lt \varepsilon. \notag
\end{align}
$\color{red}{|f(x)-f(a)| }$ の部分が, 三角不等式より,
\begin{align}
\large |f(x)-f(a)| & \large = |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(a) + f_n(a) -f(a)| \notag \\[8pt]
\large & \large \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(a)| + |f_n(a) -f(a)| \notag
\end{align}
である. 条件 (i), (ii)をうまく使えば, それぞれの絶対値を十分小さい値で抑えられそうである.
証明
条件 (ii)より,
\begin{align}
& \large {}^\forall \varepsilon \gt 0,\quad {}^{\exists} N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, \\[8pt]
& \large {}^\forall x \in I ,\quad {}^\forall n \in \mathbb{N} \qquad
n \geq N(\varepsilon) \Longrightarrow |f_n(x)-f(x)| \lt \varepsilon \notag
\end{align}
である. $|f_n(x)-f(x)| \lt \varepsilon$ は, $n \geq N(\varepsilon)$ であれば成立するので, $\color{red}{n =
N(\varepsilon)}$ として,
\begin{align}
& \large {}^\forall \varepsilon \gt 0,\quad {}^{\exists} N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, \notag
\\[8pt]
& \large {}^\forall x \in I \qquad |f_{N(\varepsilon)}(x)-f(x)| \lt \varepsilon. \notag
\end{align}
これは, ${}^\forall x \in I$ に対して成立なのでもちろん, $a \in I$ であれば
\begin{align}
\large |f_{N(\varepsilon)}(a)-f(a)| \lt \varepsilon.
\end{align}
また, 条件 (i)より $f_{N(\varepsilon)}(x)$ は $I$ で連続なので,
\begin{align}
& \large {}^\forall \varepsilon \gt 0,\quad {}^\forall a \in I,\quad {}^{\exists}
\color{red}{\delta_{N(\varepsilon)} (\varepsilon, a)} \gt 0, \notag \\[8pt]
& \large {}^\forall x \in I \qquad
|x-a| \lt \delta_{N(\varepsilon)} (\varepsilon, a) \Longrightarrow
|f_{N(\varepsilon)}(x)-f_{N(\varepsilon)}(a)| \lt \varepsilon. \notag
\end{align}
ここまでわかったことをまとめると,
\begin{align}
& \large {}^\forall \varepsilon \gt 0,\quad {}^\forall a \in I,\quad {}^{\exists}
\delta_{N(\varepsilon)} (\varepsilon, a) \gt 0, \\[8pt]
& \large {}^\forall x \in I \qquad \mathrm{Eqs}.(1), (2), (3)\; \mathrm{hold}. \notag
\end{align}
つまり,
\begin{align}
& \large |x-a| \lt \delta_{N(\varepsilon)} (\varepsilon, a) \\[8pt]
\large \Longrightarrow & \large |f(x)-f(a)| \leq |f(x) - f_{N(\varepsilon)}(x)| +
|f_{N(\varepsilon)}(x) - f_{N(\varepsilon)}(a)| + |f_{N(\varepsilon)}(a) -f(a)|
\lt \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon = 3\varepsilon. \notag
\end{align}
これは求めたかった,
\begin{align}
& \large {}^\forall \varepsilon \gt 0,\quad {}^\forall a \in I,\quad {}^{\exists} \delta
(\varepsilon, a) \gt 0, \\[8pt]
& \large {}^\forall x \in I \qquad
|x-a| \lt \delta (\varepsilon, a) \Longrightarrow |f(x)-f(a)| \lt \varepsilon \notag
\end{align}
である.
$\blacksquare$